A equação do 2º grau, também conhecida como equação quadrática, é uma expressão matemática fundamental que desempenha um papel crucial em diversas áreas da ciência e da engenharia. Em sua essência, ela representa um polinômio de grau dois, cuja forma geral é dada por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes numéricos reais.
Ao resolver uma equação do 2º grau, nosso objetivo principal é identificar os valores da incógnita x que tornam a expressão igual a zero. Esses valores, que satisfazem a equação, são denominados raízes ou soluções da equação quadrática. Neste artigo, vamos explorar os diferentes tipos de equações do 2º grau e os métodos para encontrar suas soluções.
O que você vai ler neste artigo:
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Tipos de equações do 2º grau
As equações do 2º grau podem ser classificadas em dois tipos principais: completas e incompletas.
-
Equação completa: Apresenta todos os coeficientes (a, b e c) diferentes de zero. Sua forma geral é ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.
- Exemplo: 2x² + 4x – 6 = 0 (a = 2, b = 4, c = -6)
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Equação incompleta: Possui um ou mais coeficientes (b ou c) iguais a zero. Existem três casos de equações incompletas:
- ax² + c = 0 (b = 0)
- Exemplo: 2x² – 4 = 0 (a = 2, b = 0, c = -4)
- ax² + bx = 0 (c = 0)
- Exemplo: -x² + 3x = 0 (a = -1, b = 3, c = 0)
- ax² = 0 (b = 0 e c = 0)
- Exemplo: x² = 0 (a = 1, b = 0, c = 0)
- ax² + c = 0 (b = 0)
É importante ressaltar que o coeficiente ‘a’ nunca pode ser igual a zero, pois, caso contrário, a equação deixaria de ser do 2º grau.
Como resolver equações de 2º grau?
A solução de uma equação do 2º grau consiste em encontrar os valores de x que tornam a igualdade verdadeira, ou seja, que satisfazem a equação. Para isso, é necessário analisar se a equação é completa ou incompleta e, em seguida, aplicar o método de resolução mais adequado.
Método de solução para equações do tipo ax² + c = 0
Para resolver equações incompletas com b = 0, o método consiste em isolar a incógnita x:
Isolar o termo com x²:ax² = -c
Dividir ambos os lados por a:x² = -c/a
Extrair a raiz quadrada de ambos os lados:x = ±√(-c/a)
Exemplo: Encontre as raízes da equação 3x² – 27 = 0.
Isolar o termo com x²:3x² = 27
Dividir ambos os lados por 3:x² = 9
Extrair a raiz quadrada de ambos os lados:x = ±√9
Solução:x’ = 3 e x” = -3
Método de solução para equações do tipo ax² + bx = 0
Para resolver equações incompletas com c = 0, o método consiste em utilizar a fatoração por evidência:
Fatorar x:x(ax + b) = 0
Igualar cada fator a zero:x = 0 ou ax + b = 0
Resolver a equação ax + b = 0:x = -b/a
Solução:x’ = 0 e x” = -b/a
Exemplo: Determine a solução da equação 5x² – 45x = 0.
Fatorar x:x(5x – 45) = 0
Igualar cada fator a zero:x = 0 ou 5x – 45 = 0
Resolver a equação 5x – 45 = 0:5x = 45x = 9
Solução:x’ = 0 e x” = 9
Método de solução para equações completas
Para resolver equações completas (ax² + bx + c = 0), o método mais utilizado é a fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Onde o termo Δ = b² – 4ac é conhecido como discriminante.
Exemplo: Determine a solução da equação x² – x – 12 = 0.
Identificar os coeficientes:a = 1, b = -1, c = -12
Calcular o discriminante:Δ = (-1)² – 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49
Aplicar a fórmula de Bhaskara:x = (1 ± √49) / 2 * 1x = (1 ± 7) / 2
Solução:x’ = (1 + 7) / 2 = 4x” = (1 – 7) / 2 = -3
Análise do discriminante
O valor do discriminante (Δ) fornece informações importantes sobre as soluções da equação do 2º grau:
- Δ > 0: A equação possui duas soluções reais e distintas.
- Δ = 0: A equação possui duas soluções reais e iguais (uma única solução).
- Δ < 0: A equação não possui soluções reais.
Sistemas de equações do segundo grau
Um sistema de equações do segundo grau é um conjunto de duas ou mais equações que devem ser satisfeitas simultaneamente. A solução de um sistema de equações é o conjunto de valores que tornam todas as equações verdadeiras.
Exemplo: Considere o sistema:
x² + y² = 8
x – y = 0
Para resolver esse sistema, podemos isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir na outra. Isolando x na segunda equação, temos:
x = y
Substituindo na primeira equação:
y² + y² = 8
2y² = 8
y² = 4
y = ±2
Como x = y, temos:
x’ = 2, y’ = 2
x” = -2, y” = -2
Portanto, as soluções do sistema são os pares ordenados (2, 2) e (-2, -2).
Exercícios resolvidos
Questão 1 – (ESPM -SP) As soluções da equação abaixo são dois números
(x+3)/(x-1) = (3x+1)/(x+3)
a) primos.
b) positivos.
c) negativos.
d) pares.
e) ímpares.
Solução
Primeiramente, devemos encontrar as restrições da equação, ou seja, os valores de x que tornam os denominadores diferentes de zero: x ≠ 1 e x ≠ -3.
Em seguida, podemos multiplicar cruzado para eliminar os denominadores:
(x+3) * (x+3) = (x-1) * (3x+1)
x² + 6x + 9 = 3x² – 2x – 1
2x² – 8x – 10 = 0
Dividindo ambos os lados por 2:
x² – 4x – 5 = 0
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
Δ = (-4)² – 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36
x = (4 ± √36) / 2
x = (4 ± 6) / 2
x’ = 5 e x” = -1
As soluções da equação são 5 e -1, que são números ímpares.
Alternativa e.
Questão 2 – (UFPI) Um criador de aves verificou que, após colocar (n +2) aves em cada um dos n viveiros disponíveis, sobraria apenas uma ave. O número total de aves, para qualquer valor de n natural, é sempre
a) um número par.
b) um número ímpar.
c) um quadrado perfeito.
d) um número divisível por 3.
e) um número primo.
Solução
O número total de aves pode ser representado pela expressão:
n * (n + 2) + 1
Expandindo a expressão:
n² + 2n + 1
Fatorando a expressão:
(n + 1)²
Como (n + 1)² é um quadrado perfeito para qualquer valor de n natural, o número total de aves é sempre um quadrado perfeito.
Alternativa c.
Dessa forma, a equação do 2º grau é uma ferramenta poderosa para resolver problemas em diversas áreas. Portanto, compreender os diferentes tipos de equações, os métodos de resolução e a análise do discriminante é fundamental para aplicar esse conhecimento de forma eficaz.
Perguntas frequentes
Uma equação do 2º grau é uma equação polinomial de grau dois. Sua forma geral é ax² + bx + c = 0, onde ‘a’, ‘b’ e ‘c’ são coeficientes numéricos reais, e ‘a’ é diferente de zero. O objetivo é encontrar os valores de ‘x’ que satisfaçam a igualdade, ou seja, as raízes da equação.
As equações do 2º grau podem ser completas ou incompletas. Uma equação completa possui todos os coeficientes (a, b e c) diferentes de zero. Já as equações incompletas apresentam b = 0 ou c = 0, ou ambos. A forma de resolução varia dependendo se a equação é completa ou incompleta.
A fórmula de Bhaskara é utilizada para encontrar as raízes de uma equação completa do 2º grau. A fórmula é: x = (-b ± √Δ) / 2a, onde Δ (delta) é o discriminante, calculado por Δ = b² – 4ac. O valor de Δ determina a natureza das raízes: se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais e distintas; se Δ = 0, possui duas raízes reais iguais; e se Δ < 0, não possui raízes reais.
Equações incompletas podem ser resolvidas de maneira mais direta. Se a equação for do tipo ax² + c = 0, basta isolar o x². Se for do tipo ax² + bx = 0, pode-se fatorar o ‘x’ em evidência, resultando em x(ax + b) = 0. Assim, uma das raízes é sempre x = 0, e a outra é encontrada resolvendo ax + b = 0.
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