Teorema de pitágoras: fórmula e aplicações

O teorema de Pitágoras é uma das pedras angulares da geometria, estabelecendo uma relação fundamental entre os lados de um triângulo retângulo. Em outras palavras, essa relação matemática nos permite calcular um dos lados do triângulo, desde que os outros dois sejam conhecidos.

Ademais, sua aplicação transcende a sala de aula, permeando diversas áreas do conhecimento e da prática, da engenharia à arquitetura. Neste artigo, vamos explorar a fundo o teorema de Pitágoras, desvendando sua fórmula, aplicações e importância histórica.

Fórmula do teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, os lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos, enquanto o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. O teorema de Pitágoras estabelece que o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Matematicamente, essa relação é expressa pela seguinte fórmula:

c² = a² + b²

Onde:

• c representa a medida da hipotenusa.
• a e b representam as medidas dos catetos.

Como aplicar o teorema de Pitágoras?

A aplicação mais direta do teorema de Pitágoras é determinar a medida de um dos lados de um triângulo retângulo quando as medidas dos outros dois são conhecidas. Para isso, basta substituir os valores conhecidos na fórmula e resolver a equação resultante.

Exemplo:

Considere um triângulo retângulo com catetos medindo 3 cm e 4 cm. Qual a medida da hipotenusa?

Resolução:

Aplicando o teorema de Pitágoras:

c² = 3² + 4²

c² = 9 + 16

c² = 25

c = √25

c = 5 cm

Portanto, a hipotenusa mede 5 cm.

Demonstração do teorema de Pitágoras

Existem diversas demonstrações para o teorema de Pitágoras, algumas geométricas e outras algébricas. Uma das demonstrações mais conhecidas é a demonstração por semelhança de triângulos.

Considere um triângulo retângulo ABC, com um ângulo reto em C. Trace a altura CD relativa à hipotenusa AB. Isso divide o triângulo ABC em dois triângulos menores, CBD e CAD, ambos semelhantes ao triângulo original.

A partir da semelhança dos triângulos, é possível estabelecer as seguintes proporções:

• Nos triângulos ABC e CBD: c/a = a/m, onde m é a projeção do cateto a sobre a hipotenusa.
• Nos triângulos ABC e ACD: c/b = b/n, onde n é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.

Multiplicando as proporções, obtemos:

• a² = c * m
• b² = c * n

Somando as duas equações:

a² + b² = c * m + c * n

a² + b² = c * (m + n)

Como m + n = c:

a² + b² = c²

Dessa forma, demonstramos o teorema de Pitágoras.

Triângulo pitagórico

Um triângulo retângulo cujas medidas dos lados são números inteiros é chamado de triângulo pitagórico. O exemplo mais conhecido é o triângulo com lados medindo 3, 4 e 5.

Outros exemplos de triângulos pitagóricos incluem:

• (5, 12, 13)
• (8, 15, 17)
• (7, 24, 25)

Os múltiplos dessas medidas também formam triângulos pitagóricos. Por exemplo, (6, 8, 10) é um triângulo pitagórico, pois é um múltiplo de (3, 4, 5).

Teorema de Pitágoras e os números irracionais

O teorema de Pitágoras também está relacionado com os números irracionais. Por exemplo, considere um quadrado com lado medindo 1. A diagonal desse quadrado é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

d² = 1² + 1²

d² = 2

d = √2

Como √2 é um número irracional, o teorema de Pitágoras nos mostra que é possível encontrar segmentos de reta com medidas irracionais.

Aplicações do teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras possui diversas aplicações em diferentes áreas, tais como:

• Geometria: Cálculo de áreas e volumes de figuras geométricas.
• Trigonometria: Definição das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.
• Engenharia: Cálculo de distâncias e alturas em projetos de construção.
• Navegação: Determinação da distância entre dois pontos em um mapa.
• Física: Cálculo da resultante de forças perpendiculares.

Assim, o teorema de Pitágoras é uma ferramenta fundamental na matemática e em diversas áreas do conhecimento. Sua fórmula simples, c² = a² + b², permite calcular a medida de um dos lados de um triângulo retângulo quando as medidas dos outros dois são conhecidas.

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